引入#

刷贴吧的时候，发现数学吧有一个帖子称所有抛物线都是相似的。事实上这通过解析几何的手段非常容易证明，通过同比例伸缩变换（证明略），任何抛物线都可以化为同一条标准抛物线。

该简单性质的背后有没有什么有趣的东西？

为什么圆锥曲线可以按离心率划分相似等价类 / 为什么离心率是相似不变量？

经过简单的互联网搜索，发现很多人讨论过该性质，且在杂志《中小学数学》上有众多讨论该性质的文章，其内容质量令人哭笑不得——请注意，我并不仅仅只是因为其水分而感到可笑，这些文章甚至包含明显错误的内容和证明。

双曲线怎么可能都是相似的？显然，这种文章是完全不靠谱的。

那么，有没有其他角度看待该性质呢？尝试从射影几何角度分析。

射影几何#

在平面几何里，我们习惯了这样的事实：平面上两条直线可能相交（有交点），也可能平行（没有交点）

射影几何的关键思想是：

让所有直线都相交，即便是在“无限远”也交。

无穷远点（points at infinity）

• 每一组平行线都增加一个共用的无穷远点。
  • 例子：所有竖直线的无穷远点在同一个地方、所有水平线的无穷远点在另一个地方。

无穷远线（line at infinity）

• 所有的无穷远点组成一条直线 → 无穷远线。
• 增加了无穷远线的平面称为射影平面。

曲线的无穷远点

• 一条曲线在射影平面中也可以“延伸到无限远”，与无穷远线交于某个无穷远点。

渐近线就是曲线在无穷远处的切线。（若该切线是无穷远线，通常定义不存在渐近线）

以标准抛物线为例：$y = x^2$

在射影平面中，抛物线是一个二次曲线，它有 唯一的点在无穷远处，对应的是它的开口方向

事实上，抛物线与无穷远线相切（具体见后文），切线显然是 无穷远线本身。故抛物线没有渐近线。

其他例子：

1. 直线：与无穷远线相交于一个无穷远点
2. 双曲线：与无穷远线相交于两个无穷远点 → 对应两条渐近线。
3. 椭圆：不存在无穷远点

在齐次坐标系中理解：

在射影平面中，我们通常引入齐次坐标 $[X:Y:Z]$，其中平面点 $(x, y)$ 对应于：

将方程 $y = kx^2$ 转换为齐次形式：

射影平面中的无穷远直线是：

所以，如果我们考虑抛物线 $YZ = k X^2$ 在 $Z=0$ 的交点：

也就是说，这些抛物线都和无穷远直线 $Z=0$ 上交于点 $[0:1:0]$，且交点处是二重根（说明是相切的），此交点正是“y轴方向的无穷远点”。这可以被理解为抛物线的渐近方向。

$YZ = kX^2$ 的示意图如下：

相比之下，双曲线与无穷远线相交于两个无穷远点，也就对应两条渐近线，渐近线的夹角由方程系数决定，不同渐近线夹角对应的双曲线并不相似。椭圆则不存在无穷远点。

尽管上面的分析不能直接说明抛物线具有完全相似的性质，但唯有抛物线在无穷远处的结构完全一致（单一切点，且方向固定），加上离心率恒为 1，没有任何额外的形状参数（自由度比双曲线、椭圆少1个），这就为它们在更严格的变换下仍能互相转换提供了可能性。或者说抛物线完全相似符合我们的射影几何直觉。

我们还可以问：三维中的抛物面 $z = ax^2 + by^2$ 是否也都相似？答案是否定的。$a/b$ 是一个形状比值，在相似变换下不变。例如，$z = x^2 + y^2$ 和 $z = x^2 + 2y^2$ 不相似，因为前者是旋转对称的，后者不是。这再次说明：抛物线的“全能相似性”是一种低维特例，源于其自由度的缺乏。“所有抛物线相似”并不是某种普遍的几何定律，而是二维的偶然结果。

总结#

其实。。。还是挺无聊的就是了。。。

射影几何的魅力并不在于这么浅显的直观。极点极线、调和点列…背后有大量有趣的性质可以挖掘。